Description

Le cours est structuré en trois segments bien distincts :

• Variables complexes (7h) :
  Fonctions analytiques, fonctions holomorphes, séries de Laurent, singularités, intégration dans le plan complexe, théorème de Cauchy, théorème des résidus, application au calcul d'intégrales réelles.
• Théorie des distributions (7h) :
  Fonctions test, distributions régulières et singulières, exemples et propriétés élémentaires (dérivation, changement d’échelle, etc.), représentation des fonctions discontinues, convolution.
• Analyse de Fourier (10h) :
  Séries de Fourier, transformées de Fourier (fonctions et distributions): définition, exemples, propriétés (changement d'échelle, dérivation, convolution, etc.). Applications au traitement du signal: phénomène de Gibbs, apodisation, échantillonnage, repliement spectral.

The course is structured in three distinct segments:

• Complex variables (7h):

Analytic functions, holomorphic functions, Laurent's series, singularities, integration in the complex plane, Cauchy's theorem, residue theorem, application to the calculus of real integrals.

• Theory of distributions (7h):

Test functions, regular and singular distributions, examples and elementary properties (derivation, change of scale), representation of discontinous functions, convolution.

• Fourier analysis (10h):

Fourier series, Fourier transforms (fonctions and distributions): definition, examples, properties (change of scale, derivation, convolution, etc.). Applications to signal processing: Gibbs phenomenon, tapering, sampling, aliasing.

A la fin de ce cours, vous serez capable de :

- Calculer des intégrales de contour dans le plan complexe.
- Représenter et manipuler des signaux physiques singulières ou non
à l’aide de distributions.
- Calculer des séries et des transformées de Fourier de fonctions e t de distributions.

- Evaluate contour integrals in the complex plane.
- Represent and manipulate singular and non-singular physical signals using distributions. - Compute Fourier series and Fourier transforms of functions and distributions.
 

Compétences visées

L'objet de ce cours est de présenter les outils mathématiques de base pour le traitement des signaux numériques.

The purpose of this course is to present the basic mathematical tools for numerical signal analysis.